A Petrov-Galerkin multiscale hybrid-mixed method for the Darcy equantion on polytopes

Abstract

Neste trabalho, modificamos o método Multiscale Hybrid-Mixed (MHM) e propomos um novo método de elementos finitos multiescala, denominado de Petrov-Galerkin Multiscale Hybrid-Mixed (PGMHM). Sua construção parte de uma formulação de Petrov-Galerkin para o espaço dos multiplicadores de Lagrange. Este é definido pelo enriquecimento dos espaços polinomiais do multiplicador de Lagrange com funções baseadas em resíduos restritas às faces da partição. Como resultado, termos de salto são adicionados ao método MHM original, os quais penalizam a falta de conformidade das soluções numéricas do MHM. Por serem baseados em resíduos, os termos adicionais preservam a consistência do método MHM original. Também como consequência do enriquecimento de espaços, o método induz um pós-processamento local da solução numérica. Tal solução pertence a um espaço “mais rico” induzido por um espaço discreto de multiplicadores de Lagrange que incorpora aspectos físicos do modelo, e preserva as propriedades de conservação locais da solução exata. Demonstramos que o método PGMHM possui propriedades de super-convergência assumindo-se regularidade local como o método MHM original. Experimentos numéricos validam os resultados teóricos, bem como verificam a precisão do PGMHM em problemas altamente heterogêneos.